MECHANICS OF MATERIALS خمش خمش خالص خمش در مقاطع مزکب بارگذاری خارج اس محور. Third Edition CHAPTER. Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr.

Transcript

1 Third E CHAPTER MECHANCS OF Ferdinand P. Beer E. Russell Johnston, Jr. خمش John T. DeWolf Lecture Notes: J. Walt Oler Texas Tech University خمش خالص خمش در مقاطع مزکب بارگذاری خارج اس محور MATERALS

2 در فػل های قبل درباره چگونگی محاسبه تنص و کزنص در اػضای تحت اثز نیزوی محوری و لنگز پیچطی آموختیم. در این فػل درباره محاسبه تنص و کزنص در اػضای تحت خمص غحبت خواهیم کزد. خمص موضوع مهمی در طزاحی بسیاری اس ماضین آالت و ساسه هاست. - 2

3 خمش خالص: خمشص خشالع: در ایشن حالشت تمشامی م شاطغ ػزضی تحت اثز لنگز خمطی M بوده و نیزوهای بزضی و محوری در این م اطغ غفز است. - 3

4 سایز حاالت بارگذاری: بارگذاری خارج اس محشور: وقتشی نیشزوی محشوری خارج اس محور اغلی ػضو اثز می کنشذ ػشهوه بشز نیزوی محوری داخلی موخب ایداد لنگشز خمطشی نیش می ضود. بارگذاری ػزضی: بارهای متمزکش یا گستزده که به غورت ػزضی و ػمشود بشز محشور ػضشو وارد مشی ضونذ مندز به ایداد بزش و پیچص همشمشا مشی ضونذ. بز اساس اغل خمغ آثار قوا تنص ایدشاد ضشذه در هز یک اس حشاالت فشور را مشی تشوا بشه غشورت خذاگانه محاسبه نمود. -

5 با توخه به ضکل های نطا داده ضذه می توا به مشوارد سیشز اضاره کزد: در خمص خالع یک تیز فزؼ می ضود که م اطغ ػمشود بشز محور طولی پس اس بارگذاری نیش ػمود بز محور طولی تیز و به غورت مسطح باقی می ماننذ. هما گونه که در ضکل فور مطاهذه مشی ضشود: تارهشای بشاال تحت فطار قزار گزفتشه و کشاهص طشوی مشی دهنشذ و تارهشای پایین تحت کطص قزار گزفته و افشایص طوی مشی دهنشذ. بشه سادگی می توا نتیده گزفت که تاری وخود دارد کشه انشذاسه آ ثابت است و تغییز طوی نمشی دهشذ. مکشا هنذسشی ایشن تارها تطکیل غفحه خنثی را داده و محل ت اطغ این غفحه با م طغ ػزؼ را محور خنثی یا تارخنثی می نامنذ. - 5

6 کزوش تحت اثز خمش: یک قطؼه اس تیز به طشوی L را در نظشز بگیزیشذ. طشوی تشار خنثی پس اس تییز ضکل نیش L باقی مشی مانشذ. ولشی طشوی ب یه تارها به غورت سیز محاسبه می ضود: L m y L L y y x L c or y x m c ρ y y c m - 6

7 تىش تحت اثز خمش: م طغ دلخواهی با محورهای اغلی x و y را مطابق ضشکل در نظشز بگیزیشذ. هزگشاه لنگشز خمطشی در راسشتای یکشی اس محورهشای اغشلی واقشغ ضشود در م طغ حالت خمص سشاده )تشک محشوره( رخ مشی دهذ. تنص های قائم ایداد ضشذه در ن شام مختلش در حالت خمص ساده اس رابطه سیشز قابشل محاسشبه می باضذ: σ x = My x در محل تار خنثی تشنص قشائم غشفز مشی باضذ. با توخه به توسیغ خطی تشنص در م طشغ م ادیز حذاکثز تنص در دورتزین فاغله اس تار خنثی یؼنی در باال و پایین م طغ رخ می دهذ. طبق قزارداد لنگز خمطی مثبشت موخشب ایداد فطشار در تشار بشاال و کطشص در تشار پایین می ضود. - 7

8 حذاکثز تنص ناضی اس خمص در م طغ: مما اینزسی م طغ مذوی م طغ Mc M m S section moment of inertia S c section modulus تحت اثز لنگز خمطی بزابز در تیز با مذوی م طغ بشرگتز تنص خمطی کمتزی ایداد می ضود. به ػبارت دیگز م اومت خمطی بیص تزی دارد. بزای مثای یک تیز مستطیلی را در نظز بگیزیذ bh 2 1 S 1 6 bh 6 Ah c h 2 دو م طغ با مساحت یکسا م طؼی که ػمق بشیص تشزی دارد م اومت خمطی بیطتزی دارد. )تنص خمطی کمتز( م اطغ فوالدی مورد استفاده در سشاسه هشا طشوری سشاخته مشی ضونذ که مذوی م طغ بشرگتزی داضته باضنذ. - 8

9 - 9

10 تغییزشکل های طولی و عزضی تغییزضکل محوری ناضی اس خمص با استفاده اس انحنشای غشفحه خنثشی انذاسه گیزی می ضود. 1 m m c Ec M E 1 Ec Mc همچنین کزنص های ػزضی به غورت سیز محاسبه می ضونذ: y x y z x y - 10

11 مثال 1 : SOLUTON: ابتشذا مزکشش سشطح و پشس اس آ ممشا اینزسشی را محاسبه می کنیم: Y ya A x 2 Ad سپس با استفاده اس رابطه سیز تنص های ماکشیمم را محاسبه می کنیم: تیز T ضکل فشور تحشت اثشز لنگشز خمطشی 3KN.m مفزوؼ است. چنا چه E=165Gpa باضشذ. حشذاکثز تنص فطاری و کططی را محاسشبه کشزده و نیشش ضشؼاع انحنای م طغ را بذست آوریذ. m Mc و با استفاده اس رابطه سیز ضؼاع انحنا را بذست می آوریم: 1 M E - 11

12 SOLUTON: مثال 1 : 1 2 Area, mm A 3000 y, mm ya, mm ya Y x ya A mm Ad 1 bh Ad mm m 12-12

13 مثال 1 : m A B Mc M c A M c 3 kn m0.022m mm 3 kn m0.038m mm B A B 76.0 MPa MPa Calculate the curvature 1 M E 3 kn m 165 GPa m m m - 13

14 خمش مقاطع مزکب: م طغ نطا داده ضذه در ضکل م ابل را در نظز بگیزیذ: این م طغ اس بیص اس یک نوع مػشالح سشاخته ضشذه اسشت ولشی اتػای به غورت کشامه غشلب اندشاد ضشذه اسشت و م شاطغ کماکا یکپارچه ػمل می کننشذ. لشذا کشزنص در م طشغ بشه y غورت خطی تغییز می کنذ: x با توخه به متغیز بود مذوی االستیسیته مػالح در هز قسمت: E y E x 2 E2 x E2y تار خنثی دیگز اس مزکش سطح م طغ اغلی ػبور نمی کنذ: My x 1 x 2 n x در این م اطغ بزای محاسبه تنص ابتذا م طغ را نسبت بشه یکی اس مػالح تطکیل دهنذه آ همگن مشی کنشیم. بشزای سایز قسمت ها ضشزیب همگنشی را تؼزیش مشی کنشیم. در محاسبات خشواظ هنذسشی م طشغ بشه خشای اسشتفاده اس مساحت های واقؼشی اس حاغلضشزض ضشزیب همگنشی در مساحت واقؼی هزیک اس مػالح استفاده می کنیم. - 1

15 مثال 2 : تیز را بز اساس مػالح بزنح همگن می کنیم SOLUTON: مطخػات هنذسی م طغ همگن را محاسبه می کنیم. تنص حذاکثز در م طغ همگن را محاسبه می کنیم. با ضزض تنص حذاکثز در ضزیب همگنی تنص حذاکثز در بخص فوالدی تیز را بذست می آوریم. تیز متطکل اس فوالد و بزنح را در نظشز بگیزیشذ. حذاکثز تنص ایدشاد ضشذه در بشزنح و فشوالد را تحت اثز لنگشز خمطشی 0Kip.in محاسشبه کنیذ. (E s = 29x10 6 psi) (E b = 15x10 6 psi) - 15

16 SOLUTON: مثال 2: E n E b T s b psi psi 0. in in 0. in 2.25in 1 12 b T h in in. 3in 3 m Mc 0 kip in1.5 in 5.063in 11.85ksi b max m b max n ksi 22.9 ksi s max m s max 11.85ksi - 16

17 تیزهای بته مسلح: تیزهای بتىی تحت اثز لىگز خمشی با میگزدهای فوالدی تقویت می شووذ. در م طغ همگشن ضشذه بتنشی مسشاحت میلگزدهشای فشوالدی ضزیب همگنی n ضزض می ضود. A s در پایین تار خنثی تماد تنص کططی توسط فوالد تحمل ضشذه و اس م اومت کططی بتن غزف نظز می کنیم. ولشی تمشاد تشنص فطاری در باالی تارخنثی توسط بتن تحمل می ضود در بزای بذست آورد موقؼیت تارخنثی مؼادع سیز را حل می کنیم: x 2 bx n A d x s b x n A x n A d 2 s s 0 تنص ناضی اس لنگز خمطی در بتن و فوالد اس رابطه سیز محاسبه می ضود: x c My x s n x - 17

18 مثای 3 : SOLUTON: ابتذا م طغ را به یک م طغ همگن بتنی تبذیل می کنیم. سشپس مطخػشات هنذسشی م طشغ همگشن را محاسبه می کنیم. پس اس آ تنص های ایداد ضذه در هز بخص را بذست می آوریم یک دای بتنی به ضخامت 5in بشا میلگزدهشای به قطز 5/8in مسلح ضشذه اسشت. اگشز مشذوی االستیسشششیته فشششوالد و بشششتن بشششه تزتیشششب: E=29*10 6 psi و E=3.6*10 6 psi باضذ و لنگز خمطی وارد بز 1-ft اس ػزؼ م طغ بزابشز با 0Kip.in باضذ تشنص حشذاکثز در بشتن و فوالد را بذست آوریذ. - 18

19 مثال 3 : n na s E E s c in.95in 8 psi 8.06 psi مشخصات هىذسی مقطع همگه را محاسبه می کىیم: x 12x.95 x 2 c s 3 0 x 1.50in in1.5in.95in 2.55in. 1 in Mc 1 Mc n 2 تىش های حذاکثز را بذست می آوریم: 0kip in1.5in.in 0kip in 2.55in 8.06.in c s 1.306ksi 18.52ksi - 19

20 بارگذاری خارج اس محور: در بارگذاری خارج اس محور تنص ایداد ضذه در م طغ بزابشز است با مدموع تنص یکنواخت حاغشل اس نیشزوی محشوری و تنص خطی ناضی اس خمص. Eccentric loading x P A x centric My x bending F P M Pd - 20

21 مثای : حل: ابتذا م ذار بار محوری و لنگز خمطی ناضی اس آ را محاسبه می کنیم. تنص کططی ناضی اس بشار محشوری و تشنص هشای کططی و فطاری ناضی اس خمص را محاسشبه مشی کنیم. با استفاده اس اغل خمغ آثشار قشوا بزآینشذ تشنص های فطاری و کططی را بذست می آوریم. با محاسبه موقؼیت تنص غفز تارخنثی را بذست می آوریم. ضکل فور مفزوؼ است. تحت اثز بار 160lb با خشزوج اس مزکشیشت 0.65in حشذاکثز تشنص کططشی و تشنص فطشاری ایدشاد ضشذه را محاسشبه کنیشذ. اخشتهف تشزاس تارخنثی و مزکش سطح را بذست آوریذ. )م طغ دایزه ای با قطز )0.5in - 21

22 مثای : تنص کططی ناضی اس بار محوری A c in in P A 815psi 2 160lb in 2 محاسبه لىگز خمشی: تنص های ناضی اس خمص: P M 160lb Pd 10lbin 160lb0.6in m c Mc 875psi in 10lbin0.25in in - 22

23 مثای : حذاکثز تىش فشاری و کششی موقعیت تار خىثی t c m m t c 9260psi 7660psi 0 y 0 P A My P A M 0 y in 815psi in 105lbin - 23

24 مثال 5 : تیز Tضکل م ابل تحت اثز بار فطاری P بشا مفشزوؼ اسشت. چنا چه حذاکثز تنص مداس کططشی 30Mpa و حشذاکثز تنص مداس فطشاری 120Mpa باضشذ. حشذاکثز م شذار P را بذست آوریذ. SOLUTON: ابتذا میشان روج اس مزکشیت بار و سپس لىگز خمشی را محاسبه می کىیم. بزایىذ تىش های محوری و مشی را بذست می آوریم 1 با استفاده اس تشنص هشای مدشاس کططشی حشذاکثز نیشزوی کططی و فطاری را محاسبه می کنیم. داریم: اس مثای A Y 0.038m m 9 2 m بیص تزین نیزوی محوری مداس بزابز اسشت بشا کمتشزین م ذار بذست آمذه در مزحله قبل. - 2

25 d m P centricload M Pd 0.028P bending moment مثال 5 : (1 A B P A P A Mc Mc A A P 310 P P P P )2 1559P )3 A B 377 P 30MPa 1559P 120MPa P P 79.6 kn kn P 77.0 kn - 25

26 مثال 6 : طی ػملیات اخزایی یک پل بشرگزاهی ضاهتیزهای فوالدی بز روی پایه هشای پشل قزار گزفته انذ. چنا چه دهانه هز تیز 0 متز و وس هشز تیشز 9.5KN/m باضشذ. حذاکثز تنص وارد بز تیز را محاسبه کنیذ. - 26

27 مثال 6 : - 27

28 مثال 7 : با توخه به ضکل سیز و م ادیز ػذدی داده ضذه حذاکثز تنص کططی و فطاری را در تیز AB محاسبه کنیذ. P=6.2KN, L=3.2m, d=1.25m, b=80mm T=25mm, h=120mm, h1=90mm - 28

29 مثال 7 : محاسبه مزکش سطح و مما اینزسی تیز - 29

30 مثال 7 : محاسبه لنگز خمطی حذاکثز در تیز: محاسبه تنص فطاری حذاکثز در تیز: محاسبه تنص کططی حذاکثز در تیز: - 30

31 مثال 8 : تیز مزکب اس فوالد و چوض تحت اثز لنگز خمطی M=50KN.m مفزوؼ است. اگز مذوی االستیسیته فوالد 200Gpa و مشذوی االستیسشیته چشوض 12.5Gpa باضشذ. تنص حذاکثز در چوض و تنص در باالی فوالد را محاسبه کنیذ. ابتذا نسبت مذوی االستیسیته ها را بذست می آوریم: چوض را به ػنوا مػالح مبنشا در نظشز گزفتشه و م طشغ تیشز را بشز مبنای آ همگن می کنیم. - 31

32 مثال 8 : تار خنثی م طغ همگن ضذه را محاسبه می کنیم: مما اینزسی م طغ همگن ضذه را محاسشبه مشی کنیم: دورتزین ن طه بخص چشوبی تیشز اس تشارخنثی در پایین تیز واقغ ضذه است. - 32

33 مثال 8 : دورتزین ن طه بخص چشوبی تیشز اس تشارخنثی در پایین تیز واقغ ضذه است. تنص در ن طه باالیی فوالد را محاسبه می کنیم: - 33